Question

17.

    如圖所示，AF、DE分別是⊙、⊙₁的直徑。AD與兩圓所在的平面均垂直，AD=8，BC是⊙的直徑，AB=AC=6，OE//AD。

    （Ⅰ）求二面角B-AD-F的大小；

    （Ⅱ）求直線BD與EF所成的角。

Answer 1

解（Ⅰ）AD與兩圓所在的平面均垂直，

ADAB，ADAF，

故BAF是二面角B—AD—F的平面角，

BC是圓O的直徑，AB=AC

AOBC.又AF是圓O直徑

四邊形ABCF是正方形，所以BAF=.

即二面角B—AD—F的大小為.

(Ⅱ)連結DO.

AD與兩圓所在的平面均垂直，圓O與圓O₁所在平面平行，

又OEAD，OE垂直于圓O所在的平面，OE=AD（夾在兩平行平面間的距離相等）

四邊形AOED是矩形。DEAO，DE=AO

又AF是圓O的直徑，DE是圓O₁的直徑，DEOF，DE=OF

四邊形DOFE是平行四邊形，DOEF

BDO即為直線BD與EF所成的角。

由（Ⅰ）可知BC面AOED，BOOD

在RtABC中，AB=AC=6，BC=6

在RtDAO中，AD=8，AO=3，

在RtBDO中，有

故直線BD與EF所成的角為.

解法2：（Ⅱ）以O為原點，以BC所在直線為x軸，以AF所在直線為y軸，以OE所在直線為z軸，建立如圖所示空間直角坐標系O-xyz，依題意，有O（0，0，0），A（0，，0），B（，0，0），D（0，，8），E（0，0，8），F(xiàn)（0，，0）

所以，

設異面直線BD與EF所成角為，

則

故直線BD與EF所成的角為