Question

20．長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4，AD=3，AA₁=2$\sqrt{6}$，則AC₁與BD所成角的余弦值為$\frac{1}{5}$．

Answer 1

分析 可考慮用空間向量求解：可分別以A₁D₁，A₁B₁，A₁A三直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，從而可求A，C₁，B，D四點的坐標，進而得出向量$\overrightarrow{A{C}_{1}}$和$\overrightarrow{BD}$的坐標，這樣便可求出向量$\overrightarrow{A{C}_{1}}$，$\overrightarrow{BD}$夾角的余弦值，從而便可得出異面直線AC₁，BD所成角的余弦值．

解答 解：如圖，分別以邊A₁D₁，A₁B₁，A₁A所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標系，則：
A（0，0，$2\sqrt{6}$），C₁（3，4，0），B（0，4，$2\sqrt{6}$），D（3，0，$2\sqrt{6}$）；
∴$\overrightarrow{A{C}_{1}}=（3，4，-2\sqrt{6}）$，$\overrightarrow{BD}=（3，-4，0）$；
∴$cos＜\overrightarrow{A{C}_{1}}，\overrightarrow{BD}＞=\frac{\overrightarrow{A{C}_{1}}•\overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{A{C}_{1}}||\overrightarrow{BD}|}=\frac{9-16}{7×5}=-\frac{1}{5}$；
∴AC₁與BD所成角的余弦值為$\frac{1}{5}$．
故答案為：$\frac{1}{5}$．

點評 考查通過建立空間直角坐標系，利用空間向量解決異面直線所成角的問題的方法，能求空間點的坐標，由點的坐標可以確定向量的坐標，清楚異面直線所成角的范圍．