Question

8．設(shè)f（x）是連續(xù)函數(shù)，且f（x）=x+3${∫}_{0}^{1}f（t）dt$，則f（x）=x-$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 根據(jù)${∫}_{0}^{1}$f（t）dt是常數(shù)值，得出f（x）是一次函數(shù)，利用待定系數(shù)法即可求出f（x）的解析式．

解答 解：∵f（x）為連續(xù)函數(shù)，且f（x）=x+3${∫}_{0}^{1}$f（t）dt，
不妨設(shè)3${∫}_{0}^{1}$f（t）dt=b（b為常數(shù)），
∴f（x）=x+b，
∴f（x）=x+3${∫}_{0}^{1}$f（t）dt
=x+3${∫}_{0}^{1}$（t+b）dt
=x+3（$\frac{1}{2}$t²+tb）${|}_{0}^{1}$
=x+$\frac{3}{2}$+3b，
∴$\frac{3}{2}$+3b=b，
解得b=-$\frac{3}{4}$，
∴f（x）=x-$\frac{3}{4}$．
故答案為：x-$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查了利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的應(yīng)用問題，也考查了定積分簡單應(yīng)用問題，是綜合性題目．