Question

函數(shù)f（x）=sin（

1

2

x+

π

3

），x∈[-2π，2π]．
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求使得f（x）≤0的x的取值集合．

Answer 1

考點：復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）整體法，由-

π

2

+2kπ≤

1

2

x+

π

3

≤

π

2

+2kπ解不等式和A=[-2π，2π]取交集可得；
（2）由-π+2kπ≤

1

2

x+

π

3

≤2kπ解不等式和A=[-2π，2π]取交集可得答案．

解答： 解：（1）令z=

1

2

x+

π

3

，
函數(shù)y=sinz的單調(diào)遞增區(qū)間是[-

π

2

+2kπ，

π

2

+2kπ]，k∈Z，
由-

π

2

+2kπ≤

1

2

x+

π

3

≤

π

2

+2kπ，得-

5π

3

+4kπ≤x≤

π

3

+4kπ，k∈Z，
設(shè)A=[-2π，2π]，B={x|-

5π

3

+4kπ≤x≤

π

3

+4kπ，k∈Z}，
可得A∩B=[-

5π

3

，

π

3

]，∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-

5π

3

，

π

3

]；
（2）若sinz≤0，則z∈[-π+2kπ，2kπ]，k∈Z，
由-π+2kπ≤

1

2

x+

π

3

≤2kπ，得-

8π

3

+4kπ≤x≤-

2π

3

+4kπ，k∈Z，
令C={x|-

8π

3

+4kπ≤x≤-

2π

3

+4kπ，k∈Z}，
可得A∩C=[-2π，-

2π

3

]∪[

4π

3

，2π]
∴使得f（x）≤0的x的取值集合為[-2π，-

2π

3

]∪[

4π

3

，2π]

點評：本題考查三角函數(shù)的單調(diào)性和取值范圍，屬基礎(chǔ)題．