Question

1．如圖，在三棱錐A-BOC中，AO⊥平面COB，∠OAB=∠OAC=$\frac{π}{6}$，AB=AC=2，BC=$\sqrt{2}$，D，E分別為AB，OB的中點(diǎn)．
（1）求證：CO⊥平面AOB；
（2）在線段CB上是否存在一點(diǎn)F，使得平面DEF∥平面AOC，若存在，試確定F的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）欲證平面COD⊥平面AOB，根據(jù)面面垂直的判定定理可知在平面COD內(nèi)一直線與平面AOB垂直，根據(jù)勾股定理可知OC⊥OB，根據(jù)線面垂直的判定定理可知OC⊥平面AOB，
（2）取CB的中點(diǎn)F，連接DF，EF，則DF∥AC，DE∥AO，從而可得平面DEF∥平面AOC．

解答 （1）證明：∵AO⊥底面BOC，
∴AO⊥OC，AO⊥OB．
∵∠OAB=∠OAC=30°，AB=AC=2，
∴OC=OB=1．
∵BC=$\sqrt{2}$，由勾股定理得OC⊥OB，
∴OC⊥平面AOB．
（2）存在CB的中點(diǎn)F滿足題意，
證明：取CB的中點(diǎn)F，連接DF，EF，則由于D，E分別為AB，OB的中點(diǎn)，有DF∥AC，DE∥AO，
∵DF∩DE=D，AC∩AO=A，DF，DE?平面DEF，AO，AC?平面AOC，
∴平面DEF∥平面AOC．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與平面垂直的判定，平面與平面平行的判定，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于基本知識(shí)的考查．