Question

5．已知球O的半徑OP的長(zhǎng)為1，O₁是OP的中點(diǎn)，過(guò)O₁作平面垂直于直線OP，交球面于小圓⊙O₁，若A、B是小圓⊙O₁圓弧上兩點(diǎn)，且A、B之間的球面距離為$\frac{π}{3}$，則∠AO₁B的大小為2arcsin$\frac{\sqrt{3}}{3}$（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）．

Answer 1

分析 畫出圖形，通過(guò)A、B之間的球面距離為$\frac{π}{3}$，球的半徑為1，求解△AO₁B的邊長(zhǎng)，然后求解所求角．

解答 解：如圖：球O的半徑OP的長(zhǎng)為1，O₁是OP的中點(diǎn)，過(guò)O₁作平面垂直于直線OP，交球面于小圓⊙O₁，若A、B是小圓⊙O₁圓弧上兩點(diǎn)，且A、B之間的球面距離為$\frac{π}{3}$，
可得：OA=0B=1，∠AOB=$\frac{π}{3}$，OO₁=$\frac{1}{2}$，則AO₁=BO₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，AB=1．
sin$（\frac{1}{2}{∠AO}_{1}B）$=$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{1}{2}{∠AO}_{1}B$=arcsin$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∠AO₁B的大小為：2arcsin$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：2arcsin$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查球面距離以及相關(guān)計(jì)算，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．