Question

若a∈R，函數(shù)f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²-（a+1）x．
（Ⅰ）若a=0，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[-1，2]時(shí)，-1≤f（x）≤

2

3

恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的常用辦法便是求導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)數(shù)符號(hào)，所以將a=0帶入函數(shù)f（x）中求出f（x），然后求導(dǎo)數(shù)大于0的x所在區(qū)間即可．
（Ⅱ）對(duì)于第二問，由x的取值范圍，得到函數(shù)值的范圍，求解方法是，先求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，這里需要討論a的取值情況，為簡化討論a的過程，這里用的辦法是：根據(jù)當(dāng)x∈[-1，2]時(shí)，-1≤f（x）≤

2

3

恒成立，得到，-1≤f（-1）≤

2

3

，-1≤f（1）≤

2

3

，這樣能夠求出a的取值范圍，這樣可簡化對(duì)a的討論．根據(jù)題意本題實(shí)際上是求函數(shù)f（x）的最值，使f_min（x）≥-1，使fmax(x)≤

2

3

，從而求出滿足這兩個(gè)不等式的a的取值，從而完成本題的求解．

解答： 解：（Ⅰ）若a=0，則f（x）=

1

3

x3-x，∴f′（x）=x²-1；
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是：（-∞，-1]，和[1，+∞）．
（Ⅱ）由題意知：

-1≤f(-1)≤ 2 3 -1≤f(1)≤ 2 3

，即，

-1≤- 1 3 + 1 2 a+a+1≤ 2 3 -1≤ 1 3 + 1 2 a-a-1≤ 2 3

，解得：-

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9

≤a≤0；
f′（x）=x²+ax-（a+1）=（x+a+1）（x-1）；
∵-1≤-(a+1)≤

1

9

；
∴（1）當(dāng)-（a+1）=-1，即a=0時(shí)：f′（x）=（x+1）（x-1）則
x∈（-1，1）時(shí)，f′（x）＜0；x∈（1，2）時(shí)，f′（x）＞0．
∴x=1時(shí)f（x）取到最小值f（1）=-

2

3

＞-1，又f（-1）=

2

3

，f（2）=

2

3

；
∴a=0時(shí)符合題意．
（2）當(dāng)-1＜-(a+1)≤

1

9

，即-

10

9

≤a＜0時(shí)：當(dāng)x∈（-1，-（a+1））時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x∈（-（a+1），1）時(shí)，f′（x）＜0．
∴x=-（a+1）時(shí)，f（x）取到極大值f（-（a+1））=

1

6

a3+a2+

3

2

a+

2

3

；
當(dāng)x∈（-（a+1），1）時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，f′（x）＞0．
∴x=1時(shí)，f（x）取到極小值f（1）=-

1

2

a-

2

3

≥-

2

3

＞-1；
又f（-1）=

3

2

a+

2

3

≥-1，f（2）=

2

3

；
∴根據(jù)題意，只要f（-（a+1））=

1

6

a3+a2+

3

2

a+

2

3

≤

2

3

恒成立，即a（a+3）²≤0成立，
∵a＜0，∴只要讓（a+3）²≥0成立，顯然這是成立的；
∴-

10

9

≤a＜0時(shí)符合題意．
綜上可得a的取值范圍是[-

10

9

，0]．

點(diǎn)評(píng)：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后判斷導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，從而判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，這是求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性的常用方法．還一個(gè)就是求函數(shù)的最值，也常用導(dǎo)數(shù)求解，求解過程要熟練掌握．對(duì)于第二問，需注意的是先根據(jù)-1≤f(-1)≤

2

3

，-1≤f(1)≤

2

3

來求出一個(gè)a的范圍．