Question

一個圓錐，它的底面直徑和高均為2R
（1）求這個圓錐的表面積和體積；
（2）在該圓錐內(nèi)作一內(nèi)接圓柱，當圓柱的底面半徑和高分別為多少時，它的側(cè)面積最大？最大值是多少？

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）

專題：導數(shù)的綜合應(yīng)用,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）根據(jù)圓錐的體積計算公式：V=

1

3

sh=

1

3

πr²h，解答即可．
（2）作出圓錐的軸截面，設(shè)出內(nèi)接圓柱的高h，底面半徑r和體積V；建立V（r）的函數(shù)解析式，利用導數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)V（r）的最大值．

解答： 解：（1）體積：

1

3

sh=

1

3

πr²h=

2

3

πR³．
（2）如圖，作出圓錐的軸截面，
設(shè)圓柱的高為h，
底面半徑為r（0＜r＜R），體積為V，
則

h

2R

=

R-r

R

，
∴h=2（R-r），
∴V=πr²h=2πr²（R-r）．
=2πRr²-2πr³．
∴V′=4πRr-6πr²，
令V′=0，得r=

2

3

R，
∴當r=

2

3

R時，圓柱的體積V取得最大值，
此時圓柱的高h=2（R-

2

3

R）=

2

3

R．
圓柱的體積V的最大值：

8

27

πR3．

點評：本題考查此題考查了圓錐體積計算公式，內(nèi)接體問題：建立函數(shù)模型的能力，通過函數(shù)的解析式，利用導數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的最值問題，是中檔題．