Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別是F₁、F₂，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上的一點(diǎn)，點(diǎn)M為PF₁的中點(diǎn)，|OF₁|=2|OM|，且OM⊥PF₁，則該橢圓的離心率為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由已知條件利用橢圓定義推導(dǎo)出

3

c +c=2a，由此能求出橢圓的離心率．

解答： 解：如圖，∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)
分別是F₁、F₂，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，
點(diǎn)P是橢圓上的一點(diǎn)，點(diǎn)M為PF₁的中點(diǎn)，
|OF₁|=2|OM|，且OM⊥PF₁，
∴PF₁⊥PF₂，|PF₂|=c，∠PF₁F₂=30°，|F₁F₂|=2c，
∴|PF₁|=

3

c，
由橢圓定義知

3

c +c=2a，∴a=

3 +1

2

c，
∴e=

c

a

=

c

3 +1 2 c

=

3

-1．
故答案為：

3

-1．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的離心率的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意數(shù)形結(jié)合思想的合理運(yùn)用．