Question

已知函數(shù)f(x)=x+

a

x

（a＞0）．
（1）證明：當(dāng)x＞0時，f（x）在(0，

a

]上是減函數(shù)，在[

a

，+∞)上是增函數(shù)，并寫出當(dāng)x＜0時f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）已知函數(shù)h(x)=x+

4

x

-8，x∈[1，3]，函數(shù)g（x）=-x-2b，若對任意x₁∈[1，3]，總存在x₂∈[1，3]，使得g（x₂）=h（x₁）成立，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義可證明x＞0時的單調(diào)性，根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)可求x＜0時f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）對任意x₁∈[1，3]，總存在x₂∈[1，3]，使得g（x₂）=h（x₁）成立，等價于h（x）的值域為g（x）值域的子集，利用函數(shù)單調(diào)性易求兩函數(shù)值域；

解答： （1）證明：當(dāng)x＞0時，
①設(shè)x₁，x₂是區(qū)間(0，

a

]上的任意兩個實數(shù)，且x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=(x1+

a

x1

)-(x2+

a

x2

)=(x1-x2)+a(

x2-x1

x1x2

)=（x₁-x₂）•

x1x2-a

x1x2

，
∵x₁，x₂∈(0，

a

]，且x₁＜x₂，
∴0＜x₁x₂＜a，x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在(0，

a

]上是減函數(shù)，
②同理可證在f（x）在[

a

，+∞)上是增函數(shù)；
綜上所述得：當(dāng)x＞0時，f（x）在(0，

a

]上是減函數(shù)，在[

a

，+∞)上是增函數(shù)．
∵函數(shù)f(x)=x+

a

x

(a＞0)是奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)圖象的性質(zhì)可得，
當(dāng)x＜0時，f（x）在[-

a

，0)是減函數(shù)，在(-∞，-

a

]是增函數(shù)．
（2）解：∵h(x)=x+

4

x

-8（x∈[1，3]），
由（Ⅰ）知：h（x）在[1，2][1，3]上單調(diào)遞減，[2，3]上單調(diào)遞增，
∴h（x）_min=h（2）=-4，h（x）_max=maxh（3），h（1）=-3，
h（x）∈[-4，-3]，
又∵g（x）在[1，3]上單調(diào)遞減，
∴由題意知，[-4，-3]⊆[-3-2b，-1-2b]，
于是有：

-3-2b≤-4 -1-2b≥-3

，解得

1

2

≤b≤1．
故實數(shù)b的范圍是

1

2

≤b≤1．

點評：本題考查函數(shù)單調(diào)性的證明、應(yīng)用，考查集合的簡單運算，考查恒成立問題的求解，考查轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力．