Question

已知函數(shù)f（x）=log₂（4^x+a），g（x）=x，設(shè)h（x）=f（x）-g（x）
（Ⅰ）若h（x）是偶函數(shù)，求a的值；
（Ⅱ）若關(guān)于x的方程h（x）=0有解，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)h（x）是偶函數(shù)，得到h（-x）=h（x）成立，建立方程關(guān)系即可求a的值；
（Ⅱ）根據(jù)h（x）=0，將對數(shù)方程轉(zhuǎn)化為指數(shù)方程，利用換元法，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，

解答： 解：（I）∵f（x）=log₂（4^x+a），g（x）=x，
∴h（x）=f（x）-g（x）=log₂（4^x+a）-x，
∵h(yuǎn)（x）是偶函數(shù)
∴h（-x）=h（x）成立，
即log₂（4^-x+a）+x=log₂（4^x+a）-x，恒成立，
整理得log₂

4x+a

4-x+a

=2x，
∴4^x+a=（4^-x+a）•4^x=1+a•4^x，
即a=1．
（II）由題意得：關(guān)于x的方程h（x）=0有解，
即log₂（4^x+a）=x有解，
即4^x+a=2^x有解，令2^x=t，t＞0，
∴a=-t²+t=-（t-

1

2

）²+

1

4

≤

1

4

，
即a的取值范圍為（-∞，

1

4

]．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，以及指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，要求熟練掌握指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的基本運算．