Question

已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AA₁=

6

．點(diǎn)F，E分別是邊A₁C₁和側(cè)棱BB₁的中點(diǎn)．
（1）證明：AC⊥平面BEF；
（2）求三棱錐F-AEC的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明AC⊥平面BEF；
（2）根據(jù)三棱錐的條件公式，即可求三棱錐F-AEC的體積．

解答： 證明：（1）取AC的中點(diǎn)G，連接FG，BG，則有EB∥C₁C∥FG，
∴平面BEF與平面EBGF共面，
∴FG⊥AC，而在正三角形ABC中，G是AC的中點(diǎn)，∴BG⊥AC，
又FG∩BG=G，∴AC⊥平面EBGF，即AC⊥平面BEF．
（2）設(shè)點(diǎn)E到平面FAC的距離為h，點(diǎn)B到平面FAC的距離為d，
由EB∥FG，得EB∥平面FAC，∴d=h，
又平面A₁ACC₁⊥平面ABC，BG⊥AC，∴BG⊥平面FAC，
在正三角形ABC中，AB=2，∴BG=

3

，即h=

3

，
∵S_△FAB=

1

2

FG•AC=

6

∴V_F-AEC=V_E-FAC=

1

3

h=

1

3

×

6

×

3

=

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查線面垂直的判斷以及三棱錐的體積的計(jì)算，要求熟練掌握空間線面垂直的判定定理和三棱錐的體積公式．