Question

【題目】已知向量，函數(shù)的最小值為.

（1）當(dāng)時(shí)，求的值；

（2）求；

（3）已知函數(shù)為定義在上的增函數(shù)，且對(duì)任意的都滿足，問(wèn)：是否存在這樣的實(shí)數(shù)，使不等式對(duì)所有恒成立，若存在，求出的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】(1);(2)；(3).

【解析】分析：（1）數(shù)的最小值為.利用向量的乘積運(yùn)算求出的解析式，求出最小值可得，當(dāng)時(shí)，可得的值；
（2）根據(jù)對(duì)稱軸，討論參數(shù)的范圍分段表示求；
（3）假設(shè)存在符合條件的實(shí)數(shù)，則依題意有，對(duì)所有θ恒成立．設(shè)，則，利用三角函數(shù)的有界限轉(zhuǎn)化為勾勾函數(shù)的求最值問(wèn)題，利用不等式的性質(zhì)即可求出的取值范圍．

詳解：

（1）設(shè)，則

當(dāng)時(shí)，在為減函數(shù)，

所以時(shí)取最小值.

（2），，其對(duì)稱軸為，

當(dāng)，即時(shí)，；

當(dāng)，即時(shí)，；

綜上，

（3）假設(shè)存在符合條件的實(shí)數(shù)，則依題意有，

對(duì)所有恒成立.

設(shè)，則，

∴，恒成立

即，恒成立，

∵，

∴

∴，恒成立

令

由在上單調(diào)遞增

則

∴

所以存在符合條件的實(shí)數(shù)，并且的取值范圍為..