Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3x
（1）求函數(shù)在[-1，1]上的最值；
（2）求曲線y=f（x）在點（-1，2）處的切線方程l；
（3）求由切線l，曲線f（x）=x³-3x，x=1圍成的面積．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）由已知得f′（x）=3x²-3，由此利用導數(shù)性質能求出函數(shù)在[-1，1]上的最大值和最小值．
（2）由k=f′（-1）=3-3=0，利用導數(shù)的幾何意義能求出曲線y=f（x）在點（-1，2）處的切線方程．（3）由切線l，曲線f（x）=x³-3x，x=1圍成的面積S=

∫

1 -1

(2-x3+3x)dx，由此能求出結果．

解答： 解：（1）∵f（x）=x³-3x，∴f′（x）=3x²-3， 由f′（x）=0，得x₁=1，x₂=-1，
∵f（-1）=1-（-3）=4，f（1）=1-3=-2，
∴函數(shù)在[-1，1]上的最大值為4，最小值為-2．
（2）∵k=f′（-1）=3-3=0，
∴曲線y=f（x）在點（-1，2）處的切線方程l：
y-2=0．
（3）由切線l：y=2，曲線f（x）=x³-3x，x=1圍成的圖形如右圖：
∴由切線l，曲線f（x）=x³-3x，x=1圍成的面積：
S=

∫

1 -1

(2-x3+3x)dx=（2x-

1

4

x4+

3

2

x2）

|

1 -1

=（2-

1

4

+

3

2

）-（-2-

1

4

+

3

2

）
=4．

點評：本題考查函數(shù)最值的求法，考查切線方程的求法，考查曲線圍成圖形面積的求法，解題時要認真審題，注意定積分的合理運用．