Question

已知定義域為x∈[0，1]的函數(shù)f（x）同時滿足：
①對于任意的x∈[0，1]，總有f（x）≥0；          
②f（1）=1；
③若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，則有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立．
（1）求f（0）的值；
（2）求f（x）的最大值；
（3）若對于任意x∈[0，1]，總有a＞[f（x）]²+f（x）+1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）直接取x₁=1，x₂=0利用f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）可得：f（0）≤0，再結(jié)合已知條件f（0）≥0即可求得f（0）=0；
（2）由0≤x₁＜x₂≤1，則0＜x₂-x₁＜1，故有f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）≥f（x₂-x₁）+f（x₁）≥f（x₁），即f（x）在[0，1]內(nèi)是增函數(shù)，故函數(shù)f（x）的最大值為f（1）；
（3）令t=f（x）∈[0，1]，則y=[f（x）]²+f（x）+1=t²+t+1在[0，1]內(nèi)是增函數(shù)，求出最大值，即可求實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）
∴f（1+0）≥f（1）+f（0），
∴f（0）≤0，
∵f（0）≥0，
故f（0）=0．
（2）∵0≤x₁＜x₂≤1，則0＜x₂-x₁＜1，
∴f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）≥f（x₂-x₁）+f（x₁）≥f（x₁）
故有f（x₁）≤f（x₂）．
∴f（x）在[0，1]內(nèi)是增函數(shù)，
于是當(dāng)0≤x≤1時，有f（x）≤f（1）=1
因此，當(dāng)x=1時，f（x）有最大值為1；
（3）令t=f（x）∈[0，1]，則
∵f（x）在[0，1]內(nèi)是增函數(shù)，
∴y=[f（x）]²+f（x）+1=t²+t+1在[0，1]內(nèi)是增函數(shù)，
∴x∈[0，1]，y_max=3，
∵對于任意x∈[0，1]，總有a＞[f（x）]²+f（x）+1恒成立，
∴a＞3．

點評：本題主要是在新定義下對抽象函數(shù)進行考查，在做關(guān)于新定義的題目時，一定要先研究定義，在理解定義的基礎(chǔ)上再做題．