Question

16．已知正弦函數(shù)f（x）=sinx．下列說(shuō)法不正確的是（　�。�

• A． 函數(shù)y=f（x）的圖象與函數(shù)y=$\frac{1}{π-x}$的圖象在[0，2π]上所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為4π
• B． ?x∈[0，+∞），f（x）≤x
• C． 若函數(shù)y=f（x）的圖象的兩條相互垂直的切線交于P點(diǎn)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)可能為（$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）
• D． 若函數(shù)y=f（x）的圖象的兩條相互垂直的切線交于P點(diǎn)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)可能為（$\frac{3π}{2}$，$\frac{π}{2}$）

Answer 1

分析 A．作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，得到兩個(gè)函數(shù)都關(guān)于點(diǎn)（π，0）對(duì)稱，利用對(duì)稱性進(jìn)行求解判斷．
B．構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-x=sinx-x，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論．
C．D若l₁，l₂是函數(shù)f（x）=sinx圖象上的任意兩條相互垂直的切線，設(shè)這兩個(gè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x₁、x₂，則cosx₁cosx₂=-1，即切點(diǎn)的橫坐標(biāo)等于kπ，縱坐標(biāo)為0．求出相鄰的兩條切線方程，解方程組求出兩切線交點(diǎn)的坐標(biāo)，檢驗(yàn)可得結(jié)論．

解答 解：A．作出函數(shù)y=$\frac{1}{π-x}$的圖象，則函數(shù)關(guān)于點(diǎn)（π，0）對(duì)稱，
同時(shí)點(diǎn)（π，0）也是函數(shù)y=sinx（0≤x≤2π）的對(duì)稱點(diǎn)，
由圖象可知，兩個(gè)函數(shù)在[0，2π]上共有4個(gè)交點(diǎn)，兩兩關(guān)于點(diǎn)（π，0）對(duì)稱，
設(shè)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x₁，x₂，
則x₁+x₂=2×π=2π，
∴4個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為2×2π=4π．故A正確，
B．設(shè)g（x）=f（x）-x=sinx-x，
則g′（x）=cosx-1≤0，即當(dāng)x≥0時(shí)，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，
則g（x）≤g（0）=0，即?x∈[0，+∞），f（x）≤x成立，故B正確，
C．由f（x）=sinx，得f′（x）=cosx，若l₁，l₂是函數(shù)f（x）=sinx圖象上的任意兩條相互垂直的切線，
設(shè)這兩個(gè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x₁、x₂，則cosx₁cosx₂=-1．
不妨設(shè)cosx₁≤cosx₂，則必有cosx₁=-1，cosx₂=1，故切點(diǎn)的橫坐標(biāo)等于kπ，縱坐標(biāo)為0．
由于所給選項(xiàng)縱坐標(biāo)比較小，故這兩條切線必為相鄰兩條互相垂的切線．
不妨設(shè)切線的斜率等于1的切線對(duì)應(yīng)的一個(gè)切點(diǎn)為A（0，0），則另一個(gè)切線的斜率為-1．
①當(dāng)另一個(gè)切點(diǎn)為B（-π，0），則兩條切線的方程分別為y=x、y=-1（x+π），
可得此時(shí)這兩條切線的交點(diǎn)為（-$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{2}$）．
②當(dāng)另一個(gè)切點(diǎn)為C（π，0），則兩條切線的方程分別為y=x、y=-1（x-π），
可得此時(shí)這兩條切線的交點(diǎn)為（$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）．
③若斜率等于1的切線對(duì)應(yīng)的一個(gè)切點(diǎn)為E（2π，0），當(dāng)另一個(gè)切點(diǎn)為C（π，0），
則兩條切線的方程分別為y=x-2π、y=-1（x-π），
可得此時(shí)這兩條切線的交點(diǎn)為（$\frac{3π}{2}$，-$\frac{π}{2}$）．
故C正確，D錯(cuò)誤，
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查與正弦函數(shù)有關(guān)的命題的真假判斷，涉及的內(nèi)容較多，綜合性較強(qiáng)，難度較大．