Question

1．已知$\overrightarrow{a}$=（1，-2，-2），$\overrightarrow$=（1，4，1）．
（1）求$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角；
（2）若$\overrightarrow{a}$+$λ\overrightarrow$與-2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$平行，求實(shí)數(shù)λ的值；
（3）若$\overrightarrow{a}$+$λ\overrightarrow$與-2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$垂直，求實(shí)數(shù)λ的值．

Answer 1

分析 （1）利用向量夾角公式即可得出；
（2）$\overrightarrow{a}$+$λ\overrightarrow$與-2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$平行，可得存在實(shí)數(shù)k使得$\overrightarrow{a}$+$λ\overrightarrow$=k（-2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$），利用向量相等即可得出；
（3）由于$\overrightarrow{a}$+$λ\overrightarrow$與-2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$垂直，可得（$\overrightarrow{a}$+$λ\overrightarrow$）•（-2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=0．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=1-8-2=-9，$|\overrightarrow{a}|$=$\sqrt{1+4+4}$=3，$|\overrightarrow|$=$\sqrt{{1}^{2}+{4}^{2}+{1}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}$=$\frac{-9}{3×3\sqrt{2}}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞$=135°．
（2）$\overrightarrow{a}$+$λ\overrightarrow$=（1，-2，-2）+λ（1，4，1）=（1+λ，-2+4λ，-2+λ）．
-2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$=-2（1，-2，-2）+（1，4，1）=（-1，8，5）．
∵$\overrightarrow{a}$+$λ\overrightarrow$與-2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$平行，
∴存在實(shí)數(shù)k使得$\overrightarrow{a}$+$λ\overrightarrow$=k（-2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+λ=-k}\\{-2+4λ=8k}\\{-2+λ=5k}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{λ=-\frac{1}{2}}\\{k=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，∴$λ=-\frac{1}{2}$．
（3）∵$\overrightarrow{a}$+$λ\overrightarrow$與-2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$垂直，
∴（$\overrightarrow{a}$+$λ\overrightarrow$）•（-2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=-（1+λ）+8（-2+4λ）+5（-2+λ）=0，
解得λ=$\frac{7}{12}$．

點(diǎn)評 本題考查了向量的夾角公式、向量共線定理、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．