Question

設(shè)函數(shù)f（x）=（x-1）e^x-kx²（k∈R），g（x）=-e^x．
（Ⅰ）當(dāng)x＞0時(shí)，設(shè)h（x）=-g（x）-（a+1）x（a∈R），討論函數(shù)h（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）證明：當(dāng)k∈（

1

2

，1]，f（k）≥g（0）．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）h′（x）=e^x-（a+1），討論當(dāng)a+1≤1，即a≤0時(shí)，當(dāng)a+1＞1，即a＞0時(shí)的情況，從而求出單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）令m（k）=f（k）-g（0）=（k-1）e^k-k³+1，則m′（k）=k（e^k-3k），令φ(k)=ek-3k ，  k∈(

1

2

 ，  1]，從而φ（k）在(

1

2

 ，  1]上單調(diào)遞減，得m（k）在(

1

2

 ，  x0)上單調(diào)遞增，在（x₀，1）上單調(diào)遞減．進(jìn)而求出當(dāng)k∈(

1

2

 ，  1]時(shí)，f（x）≥f（0）恒成立．

解答： 解：（Ⅰ）h′（x）=e^x-（a+1）．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
當(dāng)x＞0時(shí)，e^x＞1，故有：
當(dāng)a+1≤1，即a≤0時(shí)，x∈（0，+∞），h′（x）＞0；
當(dāng)a+1＞1，即a＞0時(shí)，x∈（0，+∞），
令h′（x）＞0，得x＞ln（a+1）；
令h′（x）＜0，得0＜x＜ln（a+1），
綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，h（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
當(dāng)a＞0時(shí)，h（x）在（0，ln（a+1））上是減函數(shù)，在（ln（a+1），+∞）上是增函數(shù)．
（Ⅱ）令m（k）=f（k）-g（0）=（k-1）e^k-k³+1，則m′（k）=k（e^k-3k），
令φ(k)=ek-3k ，  k∈(

1

2

 ，  1]，
則φ′（x）=e^k-3≤e-3＜0，
所以φ（k）在(

1

2

 ，  1]上單調(diào)遞減，
而φ(

1

2

)=

e

-

3

2

＞0，φ（1）=e-3＜0，
所以存在x0∈(

1

2

 ，  1)，使得φ（x₀）=0，
所以，當(dāng)k∈(

1

2

 ，  x0)，φ（k）＞0，故m′（k）＞0；
當(dāng)k∈（x₀，1），φ（k）＜0，故m′（k）＜0，
所以，m（k）在(

1

2

 ，  x0)上單調(diào)遞增，在（x₀，1）上單調(diào)遞減．
又m(

1

2

)=-

1

2

e

+

7

8

＞0，m（1）=0，
所以m（k）≥0在(

1

2

 ，  1]上恒成立．
所以，當(dāng)k∈(

1

2

 ，  1]時(shí)，f（x）≥f（0）恒成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考察分類討論思想，是一道綜合題．