Question

設函數f（x）=（x-1）e^x-kx²（k∈R），g（x）=-e^x．
（Ⅰ）當x＞0時，設h（x）=-g（x）-（a+1）x（a∈R），討論函數h（x）的單調性；
（Ⅱ）證明：當k∈（

1

2

，1]，f（k）≥g（0）．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）h′（x）=e^x-（a+1），討論當a+1≤1，即a≤0時，當a+1＞1，即a＞0時的情況，從而求出單調區(qū)間；
（Ⅱ）令m（k）=f（k）-g（0）=（k-1）e^k-k³+1，則m′（k）=k（e^k-3k），令φ(k)=ek-3k ，  k∈(

1

2

 ，  1]，從而φ（k）在(

1

2

 ，  1]上單調遞減，得m（k）在(

1

2

 ，  x0)上單調遞增，在（x₀，1）上單調遞減．進而求出當k∈(

1

2

 ，  1]時，f（x）≥f（0）恒成立．

解答： 解：（Ⅰ）h′（x）=e^x-（a+1）．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
當x＞0時，e^x＞1，故有：
當a+1≤1，即a≤0時，x∈（0，+∞），h′（x）＞0；
當a+1＞1，即a＞0時，x∈（0，+∞），
令h′（x）＞0，得x＞ln（a+1）；
令h′（x）＜0，得0＜x＜ln（a+1），
綜上，當a≤0時，h（x）在（0，+∞）上是增函數；
當a＞0時，h（x）在（0，ln（a+1））上是減函數，在（ln（a+1），+∞）上是增函數．
（Ⅱ）令m（k）=f（k）-g（0）=（k-1）e^k-k³+1，則m′（k）=k（e^k-3k），
令φ(k)=ek-3k ，  k∈(

1

2

 ，  1]，
則φ′（x）=e^k-3≤e-3＜0，
所以φ（k）在(

1

2

 ，  1]上單調遞減，
而φ(

1

2

)=

e

-

3

2

＞0，φ（1）=e-3＜0，
所以存在x0∈(

1

2

 ，  1)，使得φ（x₀）=0，
所以，當k∈(

1

2

 ，  x0)，φ（k）＞0，故m′（k）＞0；
當k∈（x₀，1），φ（k）＜0，故m′（k）＜0，
所以，m（k）在(

1

2

 ，  x0)上單調遞增，在（x₀，1）上單調遞減．
又m(

1

2

)=-

1

2

e

+

7

8

＞0，m（1）=0，
所以m（k）≥0在(

1

2

 ，  1]上恒成立．
所以，當k∈(

1

2

 ，  1]時，f（x）≥f（0）恒成立．

點評：本題考察了函數的單調性，導數的應用，考察分類討論思想，是一道綜合題．