【題目】已知函數(shù)f(x)=x|x﹣a|的定義域為D,其中a為常數(shù);
(1)若D=R,且f(x)是奇函數(shù),求a的值;
(2)若a≤﹣1,D=[﹣1,0],函數(shù)f(x)的最小值是g(a),求g(a)的最大值;
(3)若a>0,在[0,3]上存在n個點xi(i=1,2,…,n,n≥3),滿足x1=0,xn=3,x1<x2<…<xn , 使|f(x1)﹣f(x2)|+|f(x2)﹣f(x3)|+…+|f(xn﹣1)﹣f(xn)|= ,求實數(shù)a的取值.
【答案】
(1)解:∵f(x)是R上的奇函數(shù),
∴f(﹣1)+f(1)=﹣|﹣1﹣a|+|1﹣a|=0,
∴|a﹣1|=|a+1|,解得a=0.
∴f(x)=x|x|,經(jīng)過驗證滿足題意
(2)解:a≤﹣1,D=[﹣1,0],函數(shù)f(x)=x(x﹣a)= ﹣ ,
①a≤﹣2時,對稱軸x= ≤﹣1,函數(shù)f(x)在D上單調(diào)遞增,
∴f(x)的最小值是f(﹣1)=﹣(﹣1﹣a)=a+1,
則g(a)≤﹣2+1=﹣1,
故g(a)的最大值為﹣1;
②﹣2<a≤﹣1時,對稱軸x= ∈ ,函數(shù)f(x)在( ,﹣ )上單調(diào)遞增,
在[﹣1, ]單調(diào)遞減;
∴f(x)的最小值是f( )=﹣ ,
則g(a)≤﹣ ,
故g(a)的最大值為﹣
(3)解:a>0,函數(shù)f(x)=x|x﹣a|的圖象可由f(x)=x|x|的圖象右移a個單位得到.
而f(x)=x|x|= ,x>0時遞增,x<0時遞增,且f(x)的圖象連續(xù),
則函數(shù)f(x)=x|x﹣a|在[0,3]遞增,
即有|f(x1)﹣f(x2)|+|f(x2)﹣f(x3)|+…+|f(xn﹣1)﹣f(xn)|= ,
化為﹣(f(x1)﹣f(x2)+f(x2)﹣f(x3)+…+f(xn﹣1)﹣f(xn))= ,
即﹣(f(0)﹣f(3))= ,
則3|3﹣a|﹣0= ,
解得a= 或 .
則實數(shù)a的取值為{ , }
【解析】(1)由奇函數(shù)的定義可得f(﹣1)+f(1)=0,解得a=0,即可得到f(x)的解析式;(2)化簡f(x),對a討論,①a≤﹣2時,②﹣2<a≤﹣1時,由二次函數(shù)對稱軸,結(jié)合單調(diào)性即可得到最值;(3)a>0,函數(shù)f(x)=x|x﹣a|的圖象可由f(x)=x|x|的圖象右移a個單位得到.判斷f(x)=x|x|在R上遞增,可得函數(shù)f(x)=x|x﹣a|在[0,3]遞增,去掉絕對值,化簡整理計算即可得到a的取值.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的最值及其幾何意義的相關(guān)知識,掌握利用二次函數(shù)的性質(zhì)(配方法)求函數(shù)的最大(。┲;利用圖象求函數(shù)的最大(。┲担焕煤瘮(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大(。┲,以及對函數(shù)的奇偶性的理解,了解偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱;奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱.
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【題目】在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且3cosBcosC+1=3sinBsinC+cos2A.
(1)求角A的大。
(2)若 ,求b+c的最大值.
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【題目】已知函數(shù)f(x)是定義在(﹣4,4)上的奇函數(shù),滿足f(2)=1,當﹣4<x≤0時,有f(x)=.
(1)求實數(shù)a,b的值;
(2)若f(m+1)+>0.求m的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx﹣mx(m∈R).
(1)若曲線y=f(x)過點P(1,﹣1),求曲線y=f(x)在點P處的切線方程;
(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,e]上的最大值;
(3)若函數(shù)f(x)有兩個不同的零點x1 , x2 , 求證:x1x2>e2 .
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【題目】如圖,半徑為1的半圓O與等邊三角形ABC夾在兩平行線l1 , l2之間,l∥l1 , l與半圓相交于F,G兩點,與三角形ABC兩邊相交于E,D兩點.設(shè)弧 的長為x(0<x<π),y=EB+BC+CD,若l從l1平行移動到l2 , 則函數(shù)y=f(x)的圖象大致是( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】如圖,AC 是圓 O 的直徑,點 B 在圓 O 上,∠BAC=30°,BM⊥AC交 AC 于點 M,EA⊥平面ABC,FC//EA,AC=4,EA=3,FC=1.
(1)證明:EM⊥BF;
(2)求平面 BEF 與平面ABC 所成的二面角的余弦值.
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【題目】已知點列An(an , bn)(n∈N*)均為函數(shù)y=ax(a>0,a≠1)的圖象上,點列Bn(n,0)滿足|AnBn|=|AnBn+1|,若數(shù)列{bn}中任意連續(xù)三項能構(gòu)成三角形的三邊,則a的取值范圍為( )
A.(0, )∪( ,+∞)
B.( ,1)∪(1, )
C.(0, )∪( ,+∞)
D.( ,1)∪(1, )
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【題目】“過大年,吃水餃”是我國不少地方過春節(jié)的一大習俗,2018年春節(jié)前夕, 市某質(zhì)檢部門隨機抽取了100包某種品牌的速凍水餃,檢測其某項質(zhì)量指標.
(1)求所抽取的100包速凍水餃該項質(zhì)量指標值的樣本平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);
(2)①由直方圖可以認為,速凍水餃的該項質(zhì)量指標值服從正態(tài)分布,利用該正態(tài)分布,求落在內(nèi)的概率;
②將頻率視為概率,若某人從某超市購買了4包這種品牌的速凍水餃,記這4包速凍水餃中這種質(zhì)量指標值位于內(nèi)的包數(shù)為,求的分布列和數(shù)學期望.
附:①計算得所抽查的這100包速凍水餃的質(zhì)量指標的標準差為;
②若,則,.
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