Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=lnx﹣mx（m∈R）．
（1）若曲線y=f（x）過點P（1，﹣1），求曲線y=f（x）在點P處的切線方程；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值；
（3）若函數(shù)f（x）有兩個不同的零點x1 ， x2 ， 求證：x1x2＞e2 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為點P（1，﹣1）在曲線y=f（x）上，

所以﹣m=﹣1，解得m=1．

因為f′（x）= ﹣1=0，

所以切線的斜率為0，

所以切線方程為y=﹣1

（2）解：因為f′（x）= ﹣m= ．

①當(dāng)m≤0時，x∈（1，e），f′（x）＞0，

所以函數(shù)f （x）在（1，e）上單調(diào)遞增，

則f （x）max=f （e）=1﹣me．

②當(dāng) ≥e，即0＜m≤ 時，x∈（1，e），f′（x）＞0，

所以函數(shù)f （x）在（1，e）上單調(diào)遞增，

則f （x）max=f （e）=1﹣me．

③當(dāng)1＜ ＜e，即 ＜m＜1時，

函數(shù)f （x）在 （1， ）上單調(diào)遞增，在（ ，e）上單調(diào)遞減，

則f （x）max=f （ ）=﹣lnm﹣1．

④當(dāng) ≤1，即m≥1時，x∈（1，e），f′（x）＜0，

函數(shù)f （x）在（1，e）上單調(diào)遞減，

則f （x）max=f （1）=﹣m．

綜上，①當(dāng)m≤ 時，f （x）max=1﹣me；

②當(dāng) ＜m＜1時，f （x）max=﹣lnm﹣1；

③當(dāng)m≥1時，f （x）max=﹣m

（3）解：不妨設(shè)x1＞x2＞0．

因為f （x1）=f （x2）=0，

所以lnx1﹣mx1=0，lnx2﹣mx2=0，

可得lnx1+lnx2=m（x1+x2），lnx1﹣lnx2=m（x1﹣x2）．

要證明x1x2＞e2，

即證明lnx1+lnx2＞2，也就是m（x1+x2）＞2．

因為m= ，

所以即證明 ＞ ，

即ln ＞ ．

令 =t，則t＞1，于是lnt＞ ．

令（t）=lnt﹣ （t＞1），

則′（t）= ﹣ = ＞0．

故函數(shù)（t）在（1，+∞）上是增函數(shù)，

所以（t）＞（1）=0，即lnt＞ 成立．

所以原不等式成立

【解析】（1）中求出斜率，代入切線方程即可；（2）中需要討論m的范圍，m的取值范圍不一樣，求出的最值不同；（3）中將所證的結(jié)論轉(zhuǎn)化為求新函數(shù)的單調(diào)區(qū)間問題得以解決．
【考點精析】掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)是解答本題的根本，需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．