過點P(1，0)作曲線C:y=x2(x＞0)的切線，切點為Q1．設Q1在x軸上的投影是P1，又過P1作曲線C的切線，切點為Q2，設Q2在x軸上的投影是P2，…，依次下去，得到一系列點Q1，Q2，…，Qn，設點Qn的橫坐標為an.

(Ⅰ)求證：數(shù)列{an}為等比數(shù)列；

(Ⅱ)令bn=，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.

(Ⅰ)證明：y′=2x，過點Qn(an，)切線方程為y-=2an(x-an)．

當n=1時，切線y-=2a1(x-a1)過(1，0)，得a1=2；

當n≥2時，切線y-=2an(x-an)過Pn-1(an-1，0)，

得an=2an-1.   ∴=2(常數(shù))

∴數(shù)列{an}是以2為首項，公比為2的等比數(shù)列．

(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知an=2n，

bn=，

Tn=

=1-.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：廣東仲元中學2007屆高三數(shù)學質(zhì)量檢測(一) 題型：044

解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟

過點P(1，0)作曲線C：y＝x2(x∈(0,＋∞))的切線，切點為Q1，設點Q1在x軸上的投影為P1(即過點Q1作x軸的垂線，垂足為P1)，又過點P1作曲線C的切線，切點為Q2，設點Q2在x軸上的投影為P2，…，依次下去，得到一系列點Q1，Q2，Q3，…，Qn，…，設點Qn的橫坐標為an，n∈N*．

(1)

求數(shù)列{an}的通項公式；

(2)

比較an與的大小,并證明你的結(jié)論；

(3)

設,數(shù)列{bn}的前n項和為Sn,求證：對任意的正整數(shù)n均有≤Sn＜2．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)(>0)，過點P(1，0)作曲線的兩條切線PM、PN，為M、N．

(1)當t=2時，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)設|MN|=g(t)，求函數(shù)g(t)的表達式；

(3)在(2)的條件下，若對任意正整數(shù)，在區(qū)間[2，+]內(nèi)總存在+1個實數(shù)、、…、、，使得不等式g()+g()+…+g()<g()成立，求的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

過點P(1，0)作曲線C：的切線，切點為Q1，設Q1在軸上的投影是Pl，又過P1作曲線C的切線，切點為Q2，設Q2在軸上的投影是P2，……依次下去，得到一系列Q1、Q2、…、Q，設點Q橫坐標為．

(1)求的值，并求出與的關系；

(2)令，設數(shù)列{}的前項和為，求.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

過點P(1，0)作曲線C：y=x2(x＞0)的切線，切點為Q1.設Q1在x軸上的投影是P1，又過P1作曲線C的切線，切點為Q2，設Q2在x軸上的投影是P2，…，依次下去，得到一系列點Q1，Q2，…，Qn，設點Qn的橫坐標為an.

(Ⅰ)求a1的值，并求an與an-1(n≥2)的關系式；

(Ⅱ)令bn=，設數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,求Tn；

(Ⅲ)令Sn=a1+a2+…+an，比較Sn與P(n)=n2+2n-1，n∈N*的大小.

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