Question

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足a=4，b=acosC+

3

3

csinA．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）當△ABC的周長最大時，求△ABC的面積．

Answer 1

考點：正弦定理,余弦定理

專題：計算題,解三角形

分析：（Ⅰ）利用正弦定理把已知等式中的邊轉(zhuǎn)化成角的正弦，利用兩角和公式化簡整理后可求得tanA的值，進而求得A．
（Ⅱ）利用余弦定理構(gòu)建b，c的關系式，利用基本不等式的性質(zhì)求得△ABC的周長最大時，b，c的值，進而求得此時三角形的面積．

解答： 解：（Ⅰ）在△ABC中，∵b=acosC+

3

3

csinA．
∴由正弦定理得：sinB=sinAcosC+

3

3

sinCsinA，
即sin（A+C）=sinAcosC+

3

3

sinCsinA，
∴sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+

3

3

sinCsinA，sinC＞0，
∴cosA=

3

3

sinA，即tanA=

3

，
∴∠A=

π

3

．
（Ⅱ）∵a=4，由余弦定理知a²=b²+c²-2bccosA，得16=b²+c²-bc，
∴16=（b+c）²-3bc，
∵bc≤

(b+c)2

4

，當且僅當b=c時等號成立，
∴16≥

1

4

(b+c)2，即b+c≤8，
∴當b=c時，b+c最大，即△ABC的周長最大，
∵∠A=

π

3

，
∴△ABC的周長最大時a=b=c=4，
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA=4

3

．

點評：本題主要考查正弦定理和余弦定理的運用．解題的關鍵是利用正弦和余弦定理完成對邊和角問題的轉(zhuǎn)化和化歸．