Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）若直線是函數(shù)圖象的一條切線，求實數(shù)的值；

（2）若函數(shù)在上的最大值為（為自然對數(shù)的底數(shù)），求實數(shù)的值；

（3）若關(guān)于的方程有且僅有唯一的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或.

【解析】試題分析：（1）可設(shè)切點坐標(biāo)，切點坐標(biāo)滿足函數(shù)方程，且有．解方程組可得的值；（2）函數(shù)求導(dǎo)后，對分類討論原函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的最大值，建立關(guān)于的方程，解得值；（3）對原方程進(jìn)行配湊可得 ，構(gòu)造函數(shù)方程在上有且僅有唯一實數(shù)根，利用一元二次函數(shù)根的分布問題可得結(jié)果．

試題解析：（1）， ，

設(shè)切點橫坐標(biāo)為，則

消去，得，故，得.

（2）， ， ，

①當(dāng)時， 在上恒成立， 在上單調(diào)遞增，

則 ，得，舍去；

②當(dāng)時， 在上恒成立， 在上單調(diào)遞減，

則 ，得，舍去；

③當(dāng)時，由，得；由，得.

故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

則 ，得，

設(shè)， ，則， ，

當(dāng)時， ， 單調(diào)遞減，

當(dāng)時， ， 單調(diào)遞增，

故， 的解為.

綜上①②③，.

（3）方程可化為：

，

令，故原方程可化為，

由（2）可知在上單調(diào)遞增，故有且僅有唯一實數(shù)根，即方程（ж）在上有且僅有唯一實數(shù)根，

①當(dāng)，即時，方程（※）的實數(shù)根為，滿足題意；

②當(dāng)，即時，方程（※）有兩個不等實數(shù)根，

記為， ，不妨設(shè)， ，

Ⅰ）若， ，代入方程（※）得，得或，

當(dāng)時方程（※）的兩根為0，1，符合題意；

當(dāng)時方程（※）的兩根為2，-1，不合題意，舍去；

Ⅱ）若， ，設(shè)，則，得；

綜合①②，實數(shù)的取值范圍為或.