Question

已知公差不為0的等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，若S₅=25，且S₁，S₂，S₄成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）b_n=

1

Sn

（n∈N^*），證明：對一切正整數(shù)n，有b₁+b₂+…+b_n＜

7

4

．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項為a₁，公差為d，由題意列方程組求得首項和公差，則數(shù)列{a_n}的通項公式可求；
（2）求出等差數(shù)列的前n項和，代入b_n=

1

Sn

，放縮后列項相消求和，則結(jié)論可證．

解答： （1）解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項為a₁，公差為d，
由S₅=25，且S₁，S₂，S₄成等比數(shù)列，得

5a1+ 5×4 2 d=25 (2a1+d)2=a1•(4a1+ 4×3 2 d)

，解得：

a1=5 d=0

或

a1=1 d=2

．
∵d≠0，
∴

a1=1 d=2

，
則a_n=1+2（n-1）=2n-1；
（2）證明：若a_n=5，則bn=

1

Sn

=

1

5n

，
b₁+b₂+…+b_n=

7

4

．
若a_n=2n-1，則Sn=n+

2n(n-1)

2

=n2，
bn=

1

Sn

=

1

n2

．
∴b₁+b₂+…+b_n=

1

12

+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜1+

1

4

+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n-1

-

1

n

）
=

7

4

-

1

n

＜

7

4

．

點評：本題考查了等差數(shù)列的通項公式，考查了放縮法證明數(shù)列不等式，是中檔題．