Question

如圖，正方形ABCD所在平面與圓O所在平面相交于CD，線段CD為圓O的弦，AE垂直于圓O所在平面，垂足E是圓O上異于C、D的點，AE=3，正方形的邊長為3

5

，
（1）判斷直線BO與直線AE是否平行，只寫出結(jié)果，不要求說明理由；
（2）求證：CD⊥平面ADE；
（3）求二面角B-DE-C的正弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面垂直的判定

專題：空間角

分析：（1）BO與AE不平行．
（2）由已知條件推導出CD⊥AD，CD⊥AE，由此能證明CD⊥平面ADE．
（3）以D為坐標原點，分別以ED，CD所在直線為x軸，y軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角B-DE-C的正弦值．

解答： （1）解：BO與AE不平行．
（2）證明：∵ABCD是正方形，∴CD⊥AD，
∵AE垂直于圓O所在平面，線段CD為圓O的弦，
∴CD⊥AE，
∵AE∩AD=A，
∴CD⊥平面ADE．
（3）解：以D為坐標原點，分別以ED，CD所在直線為x軸，y軸，
建立如圖所示的空間直角坐標系，
∵AE=3，正方形的邊長為3

5

，∴DE=

(3 5 )2-32

=6，
由題意知：D（0，0，0），E（-6，0，0），B（-6，-3

5

，3），
∴

DE

=(-6，0，0)，

DB

=(-6，-3

5

，3)，
設(shè)平面DBE的法向量

n

=(x，y，z)，
則

n • DE =-6x=0 n • DB =-6x-3 5 y+3z=0

，取y=

5

，得

n

=（0，

5

，5），
由題意知平面DEC的法向量

m

=(0，0，1)，
∵cos＜

n

，

m

＞=

5

30

=

30

6

，
∴二面角B-DE-C的正弦值sinθ=

1-( 30 6 )2

=

6

6

點評：本題考查兩條直線是否平行的判斷，考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的正弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．