Question

【題目】已知函數(shù)g（x）=ax﹣ ﹣5lnx，其中a∈R．
（1）若g（x）在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）設(shè)函數(shù)h（x）=x2﹣mx+4，當(dāng)a=2時(shí)，若x1∈（0，1），x2∈[1，2]，總有g(shù)（x1）≥h（x2）成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵g（x）=ax﹣ ﹣5lnx，

∴g′（x）=a+ ﹣ = ，

若g′（x）＞0，可得ax2﹣5x+a＞0，在x＞0上成立，

∴a＞ = ，求出 的最大值即可，

∵ ≤ = （x=1時(shí)等號(hào)成立），

∴a ；

（2）解：當(dāng)a=2時(shí)，可得，g（x）=2x﹣ ﹣5lnx，

h（x）=x2﹣mx+4=（x﹣ ）2+4﹣ ，

x1∈（0，1），x2∈[1，2]，總有g(shù)（x1）≥h（x2）成立，

∴要求g（x）的最大值，大于h（x）的最大值即可，

g′（x）= = ，令g′（x）=0，

解得x1= ，x2=2，

當(dāng)0＜x＜ ，或x＞2時(shí)，g′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)；

當(dāng) ＜x＜2時(shí)，g′（x）＜0，g（x）為減函數(shù)；

∵x1∈（0，1），

∴g（x）在x= 出取得極大值，也是最大值，

∴g（x）max=g（ ）=1﹣4+5ln2=5ln2﹣3，

∵h(yuǎn)（x）=x2﹣mx+4=（x﹣ ）2+4﹣ ，

若m≤3，hmax（x）=h（2）=4﹣2m+4=8﹣2m，

∴5ln2﹣3≥8﹣2m，∴m≥ ，

∵ ＞3，故m不存在；

若m＞3時(shí)，hmax（x）=h（1）=5﹣m，

∴5ln2﹣3≥5﹣m，∴m≥8﹣5ln2，

實(shí)數(shù)m的取值范圍：m≥8﹣5ln2

【解析】（1）將函數(shù)為增函數(shù)，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)大于等于0恒成立，分離出參數(shù)a，求出a的范圍；（2）對(duì)h（x）進(jìn)行配方，討論其最值問(wèn)題，根據(jù)題意x1∈（0，1），x2∈[1，2]，總有g(shù)（x1）≥h（x2）成立，只要要求g（x）max≥h（x）max ， 即可，從而求出m的范圍；
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減才能得出正確答案．