Question

已知0＜a＜b，且a+b=1，則下列不等式①log₂a＞-1；②log₂a+log₂b＞-2；③log₂（b-a）＜0；④log₂（

b

a

+

a

b

）＞1，其中一定成立的不等式的序號(hào)是（　�。�

• A、①②
• B、②③
• C、③④
• D、①④

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專(zhuān)題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：根據(jù)已知，先求出a，b的取值范圍，再依次判斷4個(gè)選擇項(xiàng)命題的真假．

解答： 解：因?yàn)?0＜a＜b，且 a+b=1，所以 2a＜a+b=1，a+b＜2b=1，即 a＜

1

2

，b＞

1

2

．
所以 0＜a＜

1

2

，

1

2

＜b＜1．
（1）因?yàn)?0＜a＜

1

2

，且 f（x）=log （2，x）在 （0，+∞） 上單調(diào)遞增，
所以 log₂a＜log₂

1

2

=-1．
所以 不等式1 不成立．
（2）因?yàn)?0＜a＜b，由基本不等式，

ab

＜

a+b

2

=

1

2

，即 ab＜

1

4

．
所以 log₂ab＜log₂

1

4

=-2．
所以 不等式2 不成立．
（3）因?yàn)?a＞0，所以 b-a＜b＜1．
所以log₂（b-a）＜log₂1=0．
所以 不等式3 成立．
（4）因?yàn)?

b

a

＞1，0＜

a

b

＜1，
由基本不等式，

b

a

+

a

b

＞2

b a × a b

=2．
所以 log₂

b

a

+

a

b

＞log₂1=0．
所以 不等式4 成立．
綜上，只有不等式3，4 成立．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察命題的真假判斷和應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．