Question

【題目】正三棱錐P﹣ABC中，CM=2PM，CN=2NB，對于以下結論：
①二面角B﹣PA﹣C大小的取值范圍是（ ，π）；
②若MN⊥AM，則PC與平面PAB所成角的大小為 ；
③過點M與異面直線PA和BC都成 的直線有3條；
④若二面角B﹣PA﹣C大小為 ，則過點N與平面PAC和平面PAB都成 的直線有3條．
正確的序號是 ．

Answer 1

【答案】①②④
【解析】解：①設底面正三角形的邊長為1，過B作BD⊥PA，連結CD，則∠BDC是二面角B﹣PA﹣C大小，因為底面三角形ABC是正三角形，所以∠CAB= ，所以當點P無限靠近點O時，即高無限小時，∠BDC接近 ，所以二面角B﹣PA﹣C大小的取值范圍是（ ，π），所以①正確．
②因為CM=2PM，CN=2NB，所以MN∥PB．若MN⊥AM，則PB⊥AM，因為P﹣ABC是正三棱錐，所以P在底面的射影是底面的中心，所以PB⊥AC，因為AM∩AC=A，所以PB⊥面PAC，因為P﹣ABC是正三棱錐，所以必有PC⊥面PAB，所以PC與平面PAB所成角的大小為 ，所以②正確．
③因為因為P﹣ABC是正三棱錐，所以P在底面的射影是底面的中心，所以PA⊥BC．所以過點M與異面直線PA和BC都成 的直線有兩條，所以③錯誤．
④若二面角B﹣PA﹣C大小為 ，則∠BDC= ，此時∠EDC= ，（其中E是BC的中點）， ，所以此時直線BC與平面PAC和平面PAB都成 ，又因為平面PAC和平面PAB的法向量的夾角為 ，此時適當調整過N的直線，可以得到兩條直線使得過點N與平面PAC和平面PAB都成 ，所以滿足過點N與平面PAC和平面PAB都成 的直線有3條． 所以④正確．
所以答案是：①②④．