Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的一動(dòng)點(diǎn)到右焦點(diǎn)的最短距離為2-

2

，且右焦點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離等于短半軸的長．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)P（4，0），A，B是橢圓C上關(guān)于x軸對(duì)稱的任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，連結(jié)PB交橢圓C于另一點(diǎn)E，證明直線AE與x軸相交于定點(diǎn)Q．
（3）在（2）的條件下，過點(diǎn)Q的直線與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，直線MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x₀，求x₀的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出

a-c=2- 2 a2 c -c=b

，由此能求出橢圓C的方程．
（2）設(shè)直線PB的方程為y=k（x-4）．由

y=k(x-4) x2 4 + y2 2 =1

，得（2k²+1）x²-16k²x+32k²-4=0．設(shè)點(diǎn)B（x₁，y₁），E（x₂，y₂），則直線AE的方程為y-y2=

y2+y1

x2-x1

(x-x2)．由此能證明直線AE與x軸相交于定點(diǎn)Q（1，0）．
（3）設(shè)直線MN的方程為y=m（x-1），M（x_M，y_M），N（x_N，y_N）．由

y=m(x-1) x2 4 + y2 2 =1

，得（2m²+1）x²-4m²x+2m²-4=0．由此利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能求出x₀的范圍．

解答： （1）解：∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的一動(dòng)點(diǎn)到右焦點(diǎn)的最短距離為2-

2

，
右焦點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離等于短半軸的長，
∴

a-c=2- 2 a2 c -c=b

，
解得

a=2 b= 2

，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

2

=1．
（2）證明：由題意知直線PB的斜率存在，設(shè)直線PB的方程為y=k（x-4）．
由

y=k(x-4) x2 4 + y2 2 =1

，得（2k²+1）x²-16k²x+32k²-4=0．①
設(shè)點(diǎn)B（x₁，y₁），E（x₂，y₂），
則A（x₁，-y₁）．直線AE的方程為y-y2=

y2+y1

x2-x1

(x-x2)．
令y=0，得x=x₂-

y2(x2-x1)

y2+y1

．
將y₁=k（x₁-4），y₂=k（x₂-4）代入，
整理，得x=

2x1x2-4(x1+x2)

x1+x2-8

．②
由①得x1+x2=

16k2

2k2+1

，x1x2=

32k2-4

2k2+1

，
代入②，整理，得x=1．
∴直線AE與x軸相交于定點(diǎn)Q（1，0）．
（3）解：當(dāng)過點(diǎn)Q的直線MN的斜率存在時(shí)，
設(shè)直線MN的方程為y=m（x-1），M（x_M，y_M），N（x_N，y_N）．
由

y=m(x-1) x2 4 + y2 2 =1

，得（2m²+1）x²-4m²x+2m²-4=0．
∴xM+xN=

4m2

2m2+1

，x0=

2m2

2m2+1

=1-

1

2m2+1

．
∵m²≥0，∴0≤x₀＜1．
當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，其方程為x=1．
∴M（1，

6

2

），N（1，-

6

2

）．則中點(diǎn)橫坐標(biāo)x₀=1．
綜上：x₀的范圍是[0，1]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查線段中點(diǎn)坐標(biāo)的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．