Question

如圖，中心在原點(diǎn)O的橢圓的右焦點(diǎn)為F（3，0），右準(zhǔn)線l的方程為：x=12．
（1）求橢圓的方程；
（2）在橢圓上任取三個(gè)不同點(diǎn)P₁，P₂，P₃，使∠P₁FP₂=∠P₂FP₃=∠P₃FP₁，
證明：++為定值，并求此定值．

Answer 1

【答案】分析：（I）設(shè)橢圓方程為，由題意知a=6，，故所求橢圓方程為．
（II）記橢圓的右頂點(diǎn)為A，并設(shè)∠AFP_i=α_i（i=1，2，3），假設(shè)，且，
又設(shè)點(diǎn)P_i在l上的射影為Q_i，因橢圓的離心率，從而有|FP_i|=|P_iQ_i|•e==（i=1，2，3）．由此入手能夠推導(dǎo)出++為定值，并能求出此定值．
解答：解：（I）設(shè)橢圓方程為
因焦點(diǎn)為F（3，0），故半焦距c=3
又右準(zhǔn)線l的方程為，從而由已知，
因此a=6，
故所求橢圓方程為
（II）記橢圓的右頂點(diǎn)為A，并設(shè)∠AFP_i=α_i（i=1，2，3），不失一般性，
假設(shè)，且，
又設(shè)點(diǎn)P_i在l上的射影為Q_i，因橢圓的離心率，從而有|FP_i|=|P_iQ_i|•e==（i=1，2，3）
解得=（i=1，2，3）
因此++=，
而=，
故++為定值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和橢圓的位置關(guān)系和綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題中的隱含條件．