Question

4．下列命題中：
①若a＞0，則冪函數(shù)y=x^a在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
②函數(shù)y=f（1+x）與函數(shù)y=f（1-x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱；
③若函數(shù)y=f（x-1）的圖象關(guān)于x=1對稱，則y=f（x）為偶函數(shù)；
④若f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，對于任意的x∈R都有f（x）+f（2+x）=0，則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，其中正確的命題的個數(shù)為（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性，可判斷①；根據(jù)函數(shù)的對稱變換，可判斷②；根據(jù)函數(shù)圖象的平移變換和奇偶性，可判斷③；根據(jù)函數(shù)的奇偶性和對稱性，可判斷④．

解答 解：若a＞0，則冪函數(shù)y=x^a在（0，+∞）上單調(diào)遞增，故①正確；
函數(shù)y=f（1+x）與函數(shù)y=f（1-x）的圖象關(guān)于y軸對稱，故②錯誤；
若函數(shù)y=f（x-1）的圖象關(guān)于x=1對稱，則函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱，則y=f（x）為偶函數(shù)，故③正確；
若f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，則f（x）+f（-x）=0恒成立，又由對于任意的x∈R都有f（x）+f（2+x）=0，則f（-x）=f（2+x）恒成立，故函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，故④正確；
故正確的命題的個數(shù)為3個，
故選：C

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了函數(shù)的圖象變換和性質(zhì)，難度中檔．