Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，平面PAB⊥平面ABCD，
PA=PB=AB=2，M是AB的中點(diǎn)．
（1）證明：PM⊥平面ABCD
（2）求直線PC與平面ABCD所成的角的正切值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定

專(zhuān)題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）利用PM⊥AB平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，可以證明PM⊥平面ABCD；
（2）由（1）得∠PCM即為所求，構(gòu)造三角形，解三角形即可得到答案．

解答： （1）證明：∵PA=PB=AB=2，M是AB的中點(diǎn)，
∴PM⊥AB．
∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，
∴PM⊥平面ABCD．
（2）解：∵PM⊥平面ABCD
∴∠PCM為直線PC與平面ABCD所成的角．
設(shè)底面正方形邊長(zhǎng)為2，則PM=

3

，CM=

5

，
∴tan∠PCM=

PM

CM

=

15

5

．
∴直線PC與平面ABCD所成的角的正切值為

15

5

．

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于已知條件中出現(xiàn)了（或容易證明）有關(guān)的面面平行的問(wèn)題，往往就要緊緊圍繞著面面平行的性質(zhì)，從而得到線線（或線面）平行，從而將問(wèn)題解決．求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角，通過(guò)解三角形求得．