如圖，在△ABC中，AB=AC，過點A的直線與△ABC的外接圓交于點P，交BC的延長線于點D，
（Ⅰ）求證：∠ABP=∠D；
（Ⅱ）若AC=3，AP=2，求點D到△ABC的外接圓的切線長．
考點：與圓有關(guān)的比例線段
專題：選作題,立體幾何
分析：（Ⅰ）證明△ABD∽△APB，可得∠ABP=∠D；
（Ⅱ）利用∴△ABD∽△APB，可得AD=
9
2
，從而可求DP，利用切割線定理即可求出點D到△ABC的外接圓的切線長．
解答： （Ⅰ）證明：∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB
又∠ACB=∠APB
∴∠ABC=∠APB
∵∠BAD=∠PAB，
∴△ABD∽△APB，
∴∠ABP=∠D；
（Ⅱ）解：∵△ABD∽△APB，
∴
AB
AD
=
AP
AB
，
∴AB=AC=3，AP=2，
∴AD=
9
2
，
∴DP=AD-AP=
5
2
，
設(shè)DE與圓相切于點E，則DE2=DP•DA=
45
4
，
∴DE=
3
5
2
．
點評：此題主要考查的是切割線定理、考查相似三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定，正確的判斷出相似三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角是解答此題的關(guān)鍵．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

集合S={1，2，3，4，5，6，7，8，9，0}的若干個五元子集滿足：S中的任何兩個元素至多出現(xiàn)在兩個不同的五元子集中，問：至多有多少個五元子集？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱為2，底面是邊長為2的等邊三角形，D，E分別是線段BC，B1C1的中點．
（1）證明：A1E∥平面AC1D；
（2）證明：平面AC1D⊥平面BCC1B1；
（3）求三棱錐B-AC1D的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AD=
1
2
CD=2，點M在線段EC上，
（Ⅰ）求證：BF∥平面CDE；
（Ⅱ）若AB=2，三棱錐M-BDE的體積為
4
3
，求二面角M-BD-E的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，平面PAB⊥平面ABCD，
PA=PB=AB=2，M是AB的中點．
（1）證明：PM⊥平面ABCD
（2）求直線PC與平面ABCD所成的角的正切值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，∠BAC=60°，P是△ABC所在平面外一點，PA=PB=PC，∠APB=∠APC=90°．
（1）求證：PB⊥平面PAC；
（2）若H是△ABC的重心，求證：PH⊥平面ABC．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知點P是橢圓
x2
6
+
y2
4
=1上任意一點，過點P作x軸的垂線，垂足為M，則線段PM的中點N（x，y）的軌跡方程為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若復數(shù)z滿足z•i=1-i，則z=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點，A是橢圓C的頂點，B是直線AF2與橢圓C的另一個交點，∠F1AF2=60°．
（Ⅰ）求橢圓C的離心率；
（Ⅱ）已知△AF1F2的面積為25
3
，求弦AB的長度．

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