Question

如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱長都為1，D為CC₁中點．
（Ⅰ）求證：AB₁⊥平面A₁BD；
（Ⅱ）求點C到平面A₁BD的距離．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）欲證AB₁⊥平面A₁BD，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證AB₁與平面A₁BD內(nèi)兩相交直線垂直，而AB₁⊥A₁B，AB₁⊥BD，A₁B∩BD=B，滿足定理所需條件；
（Ⅱ）利用VA1-BCD=VC-A1BD，可求點C到平面A₁BD的距離．

解答： （Ⅰ）證明：取BC中點O，連結(jié)AO．
∵△ABC正三角形，∴AO⊥BC．
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面ABC⊥平面BCC₁B₁，
∴AO⊥平面BCC₁B₁．
連結(jié)B₁O，在正方形BCC₁B₁中，O，D分別為BC，CC₁的中點，
∴B₁O⊥BD，∴AB₁⊥BD．
在正方形ABB₁A₁中，AB₁⊥A₁B，∴AB₁⊥平面A₁BD；
（Ⅱ）解：△A₁BD中，BD=A₁D=

5

，A₁B=2

2

，
∴S△A1BD=

6

，S_△BCD=1．
在正三棱柱中，A₁到平面BCC₁B₁的距離為

3

．
設(shè)點C到平面A₁BD的距離為d．
由VA1-BCD=VC-A1BD，得d=

3 S△BCD

S△A1BD

=

2

2

，．
∴點C到平面A₁BD的距離為

2

2

．

點評：本題考查線面垂直，考查點面距離，考查學生分析解決問題的能力，難度中等．