Question

已知函數(shù)f（x）=

2x-3，x＞1 x+1，0≤x≤1 2x+1，x＜0

，若數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=

1

3

，a_n+1=f（a_n），則S₂₀₁₄=（　　）

• A、895
• B、896
• C、897
• D、898

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的函數(shù)特性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由分段函數(shù)和已知經(jīng)過計(jì)算a₁，a₂，a₃，a₄，即可得出a_n+3=a_n，進(jìn)而得出．

解答： 解：∵a₁=

1

3

，a_n+1=f（a_n），且函數(shù)f（x）=

2x-3，x＞1 x+1，0≤x≤1 2x+1，x＜0

，
∴a₂=f（a₁）=f(

1

3

)=

1

3

+1=

4

3

，
a₃=f（a₂）=f(

4

3

)=2×

4

3

-3=-

1

3

，
a₄=f（a₃）=f(-

1

3

)=2×(-

1

3

)+1=

1

3

=a₁，
…
∴a_n+3=a_n．
∵a₁+a₂+a₃=

1

3

+

4

3

-

1

3

=

4

3

=a₂+a₃+a₄=…．
∴S₂₀₁₄=a₁+671（a₂+a₃+a₄）
=

1

3

+671×

4

3

=895．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了分段函數(shù)的意義、數(shù)列的周期性，考查了推理能力，屬于中檔題．