Question

設函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜

π

2

）的圖象關于直線x=

2

3

π對稱，且它的最小正周期為π，則（　�。�

• A、f（x）在區(qū)間[

  5π

  12

  ，

  3π

  4

  ]上是減函數(shù)
• B、f（x）的圖象經(jīng)過點（0，

  3

  2

  ）
• C、f（x）的圖象沿著x軸向右平移

  π

  6

  個單位后所得圖象關于y軸對稱
• D、f（x）在[0，

  3π

  4

  ]上的最小值為-1

Answer 1

考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：由周期求出ω，根據(jù)對稱性求得φ，可得函數(shù)的解析式，再根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象和性質(zhì)，判斷各個選項是否正確，從而得出結(jié)論．

解答： 解：由函數(shù)的周期T=π=

2π

ω

，∴ω=2．
再根據(jù)函數(shù)的圖象關于直線x=

2

3

π對稱，可得 2×

2π

3

+φ=kπ+

π

2

，k∈z，
即φ=kπ-

5π

6

，k∈z．
再結(jié)合，|φ|＜

π

2

，可得φ=

π

6

，∴函數(shù)f（x）=sin（2x+

π

6

）．
令2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得 kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，
故函數(shù)的減區(qū)間為[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，k∈z，故A不對．
把x=0代入函數(shù)的解析式求得f（x）=

1

2

，即函數(shù)的圖象經(jīng)過點（0，

1

2

），故B不對．
f（x）的圖象沿著x軸向右平移

π

6

個單位后所得圖象對應函數(shù)的解析式為y=sin[2（x-

π

6

）+

π

6

]
=sin（2x-

π

6

），顯然所得圖象不關于y軸對稱，故排除C．
當x∈[0，

3π

4

]時，2x+

π

6

∈[

π

6

，

5π

3

]，故當2x+

π

6

=

3π

2

時，函數(shù)取得最小值為-1，
故D正確，
故選：D．

點評：本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．