已知雙曲線的離心率等于2,且與橢圓
x2
25
+
y2
9
=1
有相同的焦點,
(1)求橢圓的離心率;   
(2)求此雙曲線方程.
分析:(1)由橢圓的性質(zhì),可得橢圓
x2
25
+
y2
9
=1
的a1=5,b1=3,根據(jù)c=
a2-b2
求出c,即可得出橢圓的離心率
c
a
,
(2)由橢圓的性質(zhì),可得橢圓
x2
25
+
y2
9
=1
的焦點坐標,設(shè)雙曲線方程為
x2
a2
-
y2
b2
=1
(a>0,b>0),則可得c=4,又由雙曲線的離心率可得a的值,進而可得b,將a、b的值代入雙曲線方程可得答案.
解答:解:(1)橢圓
x2
25
+
y2
9
=1
的a1=5,b1=3,
∴c=
a2-b2
=4,
得出橢圓的離心率e=
4
5

(2)∵橢圓
x2
25
+
y2
9
=1
的焦點坐標為(-4,0)和(4,0),
則可設(shè)雙曲線方程為
x2
a2
-
y2
b2
=1
(a>0,b>0),
∵c=4,又雙曲線的離心率等于2,即
c
a
=2,
∴a=2.
∴b2=c2-a2=12;
故所求雙曲線方程為
x2
4
-
y2
12
=1
點評:本題考查雙曲線的標準方程以及橢圓的簡單幾何性質(zhì),注意區(qū)分并記憶橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)及標準方程的形式.
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5
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x2
a2
-
y2
b2
=1
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x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率與等軸雙曲線的離心率互為倒數(shù)關(guān)系,直線l:x-y+
2
=0
與以原點為圓心,以橢圓C的短半軸長為半徑的圓相切.
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(Ⅱ)設(shè)M是橢圓的上頂點,過點M分別作直線MA,MB交橢圓于A,B兩點,設(shè)兩直線的斜率分別為k1,k2,且k1+k2=4,證明:直線AB過定點(-
1
2
,-1).

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