Question

19．已知函數(shù)f（x）=ax+b，且f（1）=2，f（2）=-1．
（1）f（m+1）=3求m；
（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并用定義證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，先求出f（x）的解析式，再根據(jù)解析式列出方程求m的值；
（2）根據(jù)f（x）的解析式得出f（x）是定義域R上的減函數(shù)，用定義證明即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=ax+b，且f（1）=2，f（2）=-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b=2}\\{2a+b=-1}\end{array}\right.$，
解得a=-3，b=5，
∴f（x）=-3x+5；
又f（m+1）=3，
∴-3（m+1）+5=3，
解得m=-$\frac{1}{3}$；
（2）∵f（x）=-3x+5，x∈R，
∴函數(shù)f（x）在定義域R上是單調(diào)減函數(shù)，用定義證明如下：
任取x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=（-3x₁+5）-（-3x₂+5）=3（x₂-x₁）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）是定義域R上的減函數(shù)．

點(diǎn)評 本題考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式的應(yīng)用問題，也考查了用定義證明函數(shù)的單調(diào)性問題，是基礎(chǔ)題目．