Question

13．如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁A=$\sqrt{2}$，AD=1，DC=2，點E為AB中點．
（1）求直線A₁D與直線CE所成角的余弦值．
（2）求二面角D₁-EC-A的大�。�

Answer 1

分析 （1）根據(jù)異面直線所成角的定義即可求直線A₁D與直線CE所成角的余弦值．
（2）根據(jù)二面角的定義求出二面角的平面角，結(jié)合三角形的邊角關(guān)系即可求二面角D₁-EC-A的大�。�

解答 解：（1）連接B₁C，B₁E，由題意B₁C∥A₁D，
則∠B₁CE即為直線A₁D與直線CE所成角，
在長方體中，A₁A=$\sqrt{2}$，AD=1，DC=2，
E為AB中點，有B₁C=B₁E=$\sqrt{3}$，EC=$\sqrt{2}$，
又在等腰△B₁EC中，有cos∠B₁CE=$\frac{\frac{1}{2}EC}{{B}_{1}C}$=$\frac{\frac{1}{2}×\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
故直線A₁D與CE所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
（2）連DE，由條件得DE=CE=$\sqrt{2}$，
又DC=2，
在△DEC中，DE²+EC²=CD²，
∴DE⊥EC，
又根據(jù)已知得D₁D⊥EC，且D₁D∩DE=D，
∴EC⊥平面D₁DE，D₁E?平面D₁DE，
∴EC⊥D₁E，
∴∠D₁DE即為所求的角．
在△D₁DE中，tanD₁DE=$\frac{{D}_{1}D}{DE}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=1$，
又∠D₁DE為銳角，
∴∠D₁DE=45°，
故二面角D₁-EC-A的大小為45°．

點評 本題主要考查異面直線所成角以及二面角的求解，根據(jù)空間角的定義，利用定義法是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的計算能力．