Question

已知單位向量

i

，

j

的夾角為θ（0＜θ＜π，且θ≠

π

2

），若平面向量

a

滿足

a

=x

i

+y

j

（x，y∈R），則有序?qū)崝?shù)對（x，y）稱為向量

a

在“仿射”坐標(biāo)系Oxy（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）下的“仿射”坐標(biāo)，記作

a

=（x，y）_θ．有下列命題：
①已知

a

=（2，-1）_θ，

b

=（1，2）_θ，則

a

•

b

=0；
②已知

a

=(x，y)

π

3

，

b

=(1，1)

π

3

，其中xy≠0，則且僅當(dāng)x=y時(shí)，向量

a

•

b

的夾角取得最小值；
③已知

a

=（x₁，y₁）_θ，

b

=（x₂，y₂）_θ，則

a

-

b

=（x₁-x₂，y₁-y₂）_θ；
④已知

OA

=（1，0）_θ，

OB

=(0，1)θ，則線段AB的長度為2sin

θ

2

．
其中真命題有

 

（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量的基本定理及其意義,平面向量的綜合題

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：關(guān)鍵是理解仿射坐標(biāo)的概念，利用平面向量的共線定理及數(shù)量積運(yùn)算即可求解．

解答： 解：①若

a

=（2，-1）_θ，

b

=（1，2）_θ，則

a

•

b

=（2

i

-

j

）•（

i

+2

j

）=3

i

•

j

≠0，故①為假命題；
②

a

=(x，y)

π

3

，

b

=(1，1)

π

3

，其中xy≠0，

a

，

b

夾角最小，即

a

，

b

同向，
∴存在實(shí)數(shù)λ＞0，滿足

a

=λ

b

根據(jù)仿射坐標(biāo)的定義，易知x=y=λ＞0
故②為假命題；
③若

a

=（x₁，y₁）_θ，

b

=（x₂，y₂）_θ，則

a

-

b

=x1 

i

+y1 

j

-（x2 

i

+y2 

j

）=（x₁-x₂）

i

+（y₁-y₂）

j

∴

a

-

b

=（x₁-x₂，y₁-y₂）_θ，
故③為真命題；
④

AB

=

OB

-

OA

=（-1，1）
∴|

AB

|²=2-2cosθ=2（1-cosθ）=4sin² 

θ

2

∴AB的長度為2sin

θ

2

．
故④為真命題；
故答案為：③④．

點(diǎn)評：本題主要考察了向量的相關(guān)概念，綜合性較強(qiáng)，屬于中檔題．