Question

13．已知函數(shù)f（x）=3^x，f（a+2）=81，g（x）=$\frac{1-{a}^{x}}{1+{a}^{x}}$．
（1）求g（x）的解析式并判別g（x）的奇偶性；
（2）用定義證明：函數(shù)g（x）在R上是單調(diào)遞減函數(shù)；
（3）求函數(shù)g（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）先求出a，即可求g（x）的解析式并判別g（x）的奇偶性；
（2）利用單調(diào)性的定義即可證明：函數(shù)g（x）在R上是單調(diào)遞減函數(shù)；
（3）根據(jù)分式公式的性質(zhì)結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解值域即可．

解答 解：（1）由f（a+2）=3^a+2=81，得a+2=4，故a=2，-------------（2分）
則g（x）=$\frac{1-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$，-----------------------------------（3分）
又g（-x）=$\frac{1-{2}^{-x}}{1+{2}^{-x}}$=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}=-f（x）$，
故g（x）是奇函數(shù)．---------------------------------------（5分）
（2）設(shè)x₁＜x₂∈R，f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1-{2}^{{x}_{1}}}{1+{2}^{{x}_{1}}}-\frac{1-{2}^{{x}_{2}}}{1+{2}^{{x}_{2}}}$=$\frac{2（{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}）}{（1+{2}^{{x}_{1}}）（1+{2}^{{x}_{2}}）}$--------------------（7分）
∵x₁＜x₂，
∴${2}^{{x}_{1}}$＜${2}^{{x}_{2}}$，
又${2}^{{x}_{1}}$＞0，${2}^{{x}_{2}}$＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），-------（9分）
則函數(shù)g（x）在R上是單調(diào)遞減函數(shù)．--------------（10分）
（3）g（x）=$\frac{1-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$=$\frac{2-（1+{2}^{x}）}{1+{2}^{x}}$=$\frac{2}{1+{2}^{x}}$-1-----------------------（11分）
∵2^x＞0，2^x+1＞1，∴0＜$\frac{1}{1+{2}^{x}}$＜1--------------------（12分）
0＜$\frac{2}{1+{2}^{x}}$＜2，-1＜$\frac{2}{1+{2}^{x}}$-1＜1---------------------------（13分）
故函數(shù)g（x）的值域?yàn)椋?1，1）．---------------------------------（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)解析式以及函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷和應(yīng)用，綜合考查函數(shù)的性質(zhì)，利用定義法是解決本題的關(guān)鍵．