Question

設(shè)△A_nB_nC_n的三邊長(zhǎng)分別為a_n，b_n，c_n，△A_nB_nC_n的面積為S_n，n=1，2，3…若b₁＞c₁，b₁+c₁=2a₁，a_n+1=a_n，，，則（ ）
A．{S_n}為遞減數(shù)列
B．{S_n}為遞增數(shù)列
C．{S_2n-1}為遞增數(shù)列，{S_2n}為遞減數(shù)列
D．{S_2n-1}為遞減數(shù)列，{S_2n}為遞增數(shù)列

Answer 1

【答案】分析：由a_n+1=a_n可知△A_nB_nC_n的邊B_nC_n為定值a₁，由b_n+1+c_n+1-2a₁=及b₁+c₁=2a₁得b_n+c_n=2a₁，則在△A_nB_nC_n中邊長(zhǎng)B_nC_n=a₁為定值，另兩邊A_nC_n、A_nB_n的長(zhǎng)度之和b_n+c_n=2a₁為定值，
由此可知頂點(diǎn)A_n在以B_n、C_n為焦點(diǎn)的橢圓上，根據(jù)b_n+1-c_n+1=，得b_n-c_n=，可知n→+∞時(shí)b_n→c_n，據(jù)此可判斷△A_nB_nC_n的邊B_nC_n的高h(yuǎn)_n隨著n的增大而增大，再由三角形面積公式可得到答案．
解答：解：因?yàn)閍_n+1=a_n，，，所以a_n=a₁，
所以b_n+1+c_n+1=a_n+=a₁+，
所以b_n+1+c_n+1-2a₁=，
又b₁+c₁=2a₁，所以b_n+c_n=2a₁，
于是，在△A_nB_nC_n中，邊長(zhǎng)B_nC_n=a₁為定值，另兩邊A_nC_n、A_nB_n的長(zhǎng)度之和b_n+c_n=2a₁為定值，
因?yàn)閎_n+1-c_n+1==，
所以b_n-c_n=，
當(dāng)n→+∞時(shí)，有b_n-c_n→0，即b_n→c_n，
于是△A_nB_nC_n的邊B_nC_n的高h(yuǎn)_n隨著n的增大而增大，
所以其面積=為遞增數(shù)列，
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列、解三角形、橢圓等知識(shí)，綜合考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，有較高的思維抽象度，是本年度全國(guó)高考試題中的“亮點(diǎn)”之一．