Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是平行四邊形，AD=AB，PA=PC，AC∩BD=F，點E是PC的中點．
（Ⅰ）求證：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）求證：平面ADF⊥平面PBD．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（I）利用平行四邊形的性質(zhì)、三角形中位線定理、線面平行的判定定理即可證明；
（II）利用等腰三角形的性質(zhì)、線面與面面垂直的判定與性質(zhì)定理即可證明．

解答： 證明：（I）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴F為AC中點，
又∵E為PC中點，∴EF是△PAC的中位線．
∴EF∥PA，而EF?平面PAD內(nèi)，PA?平面PAD
∴EF∥平面PAD．
（II）連接PF，
∵PA=PC，F(xiàn)為AC中點，
∴PF⊥AF
∵平行四邊形ABCD，AD=AB，
∴四邊形ABCD是菱形，
∴AF⊥BD，
又∵BD∩PF=F，BD?平面PBD，PF?平面PBD，
∴AF⊥平面PBD，而AF?平面ADF
∴平面ADF⊥平面PBD．

點評：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、三角形中位線定理、線面平行的判定定理、等腰三角形的性質(zhì)、線面與面面垂直的判定與性質(zhì)定理，考查了推理能力，屬于中檔題．