【題目】已知橢圓的離心率為,以為圓心,橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切.

1求橢圓的標準方程;

2已知點,和平面內(nèi)一點,過點任作直線與橢圓相交于兩點,設(shè)直線的斜率分別為,試求滿足的關(guān)系式.

【答案】1;2

【解析】

試題分析:1因為離心率,所以,又為圓心,橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切,所以,再結(jié)合,求得,即求得橢圓標準方程;

2當直線斜率不存在時,直線,直線與橢圓的交點,所以,又,所以,所以的關(guān)系式為.當直線的斜率存在時,設(shè)點,設(shè)直線,聯(lián)立橢圓整理得:,根系關(guān)系略,所以化簡得,結(jié)合韋達定理得,所以,所以的關(guān)系式為.

試題解析:1因為離心率,所以,

又因為為圓心,橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切,

所以,即

因為,

所以

所以橢圓標準方程;

2當直線斜率不存在時,由,解得,不妨設(shè),

因為,所以,所以的關(guān)系式為.

當直線的斜率存在時,設(shè)點,設(shè)直線,聯(lián)立橢圓整理得:,根系關(guān)系略,所以

所以,所以的關(guān)系式為.

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