Question

7．極坐標(biāo)曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²-4$\sqrt{2}$ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）+7=0．設(shè)P（x，y）是曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，求t=（x+1）（y+1）的取值范圍．

Answer 1

分析 利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ²=x²+y²可把曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，再令x=2+cosθ，y=2+sinθ，代入t=（x+1）（y+1）后整理，然后利用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求得范圍．

解答 解：由ρ²-4$\sqrt{2}$ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）+7=0，得${ρ}^{2}-4\sqrt{2}ρ（cosθcos\frac{π}{4}+sinθsin\frac{π}{4}）+7=0$，
即x²+y²-4x-4y+7=0，化為普通方程得：（x-2）²+（y-2）²=1．
令x=2+cosθ，y=2+sinθ，
則t=（x+1）（y+1）=（cosθ+3）（sinθ+3）=sinθcosθ+3（sinθ+cosθ）+9．
再令sinθ+cosθ=m，則sinθcosθ=$\frac{{m}^{2}-1}{2}$，且m∈[$-\sqrt{2}，\sqrt{2}$]．
∴t=$\frac{{m}^{2}-1}{2}+3m+9=\frac{{m}^{2}}{2}+3m+\frac{17}{2}$（$-\sqrt{2}≤m≤\sqrt{2}$）．
∴當(dāng)m=-$\sqrt{2}$時(shí)，t有最小值為$\frac{19}{2}-3\sqrt{2}$，當(dāng)m=$\sqrt{2}$時(shí)，t有最大值為$\frac{19}{2}+3\sqrt{2}$．
∴t=（x+1）（y+1）的取值范圍是[$\frac{19}{2}-3\sqrt{2}，\frac{19}{2}+3\sqrt{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)、圓的方程、三角函數(shù)代換、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．