Question

2．設(shè)數(shù)列{a_n}，{b_n}滿足a₁=b₁=6，a₂=b₂=4，且數(shù)列{a_n-$\frac{n^2}{2}$}（n∈N^*）是等差數(shù)列，數(shù)列{b_n-2}（n∈N^*）是等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）是否存在k∈N⁺，使a_k-b_k∈（0，$\frac{1}{2}$），若存在，求出k，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù){b_n-2}（n∈Z^）是等比數(shù)列，可求{b_n-2}的通項公式，進(jìn)而可求數(shù)列{b_n}的通項公式；根據(jù)數(shù)列{a_n-$\frac{n^2}{2}$}，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)即可求{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)f（k）=a_k-b_k，求出函數(shù)f（k）的表達(dá)式，進(jìn)而可求其范圍，從而得結(jié)論．

解答 解：（1）∵{b_n-2} （n∈Z⁺）為等比數(shù)列，又b₁-2=4，b₂-2=2，
∴公比$q=\frac{1}{2}$，${b_n}-2=4•{（{\frac{1}{2}}）^{n-1}}$，即${b_n}=2+4•{（{\frac{1}{2}}）^{n-1}}$（n∈N⁺），
∵{a_n-$\frac{n^2}{2}$}（n∈N^*）是等差數(shù)列，又a₁-$\frac{1}{2}$=$6-\frac{1}{2}=\frac{11}{2}$，a₂-$\frac{4}{2}$=2，
∴公差d=2-$\frac{11}{2}$=-$\frac{7}{2}$，
則a_n-$\frac{n^2}{2}$=$\frac{11}{2}$-$\frac{7}{2}$（n-1）=-$\frac{7}{2}$n+9，
即a_n=$\frac{n^2}{2}$-$\frac{7}{2}$n+9=$\frac{{n}^{2}-7n+18}{2}$．
（3）設(shè)f（k）=a_k-b_k=（$\frac{1}{2}{k}^{2}-\frac{7}{2}k+9$）-[2+4（$\frac{1}{2}$）^n-1]
=$\frac{1}{2}$[（k-$\frac{7}{2}$）²-$\frac{49}{4}$]-4（$\frac{1}{2}$）^n-1+7，
則當(dāng)k≥4時，f（k）是增函數(shù)．
又∵f（4）=$\frac{1}{2}$，
∴當(dāng)k≥2時，f（k）≥$\frac{1}{2}$，
又∵f（1）=f（2）=f（3）=0，
所以不存在k，使a_k-b_k∈（0，$\frac{1}{2}$）．

點(diǎn)評 本題的考點(diǎn)是等差數(shù)列的通項公式，主要考查數(shù)列通項的求解，考查是否存在性問題，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列、等比數(shù)列研究問題．綜合性較強(qiáng)，難度較大．