Question

【題目】已知橢圓，圓，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，與圓相切與點(diǎn)，且為線段的中點(diǎn)，若這樣的直線有4條，則的取值范圍為______.

Answer 1

【答案】

【解析】

分直線斜率存在和不存在兩種情況各兩條，根據(jù)中點(diǎn)弦和切線關(guān)系解出中點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)在橢圓內(nèi)部即可解得的取值范圍.

根據(jù)橢圓和圓的對(duì)稱性，要使這樣的直線有4條，必斜率不存在的直線兩條，且斜率存在的直線兩條，

（i）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，要有兩條符合題意：

（ii）當(dāng)直線斜率存在時(shí)也有兩條直線滿足條件才符合題意，當(dāng)時(shí)，兩條直線符合題意，

當(dāng)時(shí)，先證明中點(diǎn)弦公式：直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且為線段的中點(diǎn)，則

設(shè)在橢圓上，

為線段的中點(diǎn)，

，兩式相減：

當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)點(diǎn)，在圓上

根據(jù)中點(diǎn)弦公式，

根據(jù)直線與圓相切

點(diǎn)，在圓上

解得：，這樣的點(diǎn)兩個(gè)，關(guān)于x軸對(duì)稱，

點(diǎn)在橢圓內(nèi)部：即

解得，

綜上所述：

故答案為：