Question

如圖，矩形ABCD的兩條對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)M（2，0），AB邊所在直線(xiàn)的方程為x-3y-6=0，點(diǎn)T（-1，1）在AD邊所在直線(xiàn)上．
（I）求矩形ABCD外接圓的方程；
（Ⅱ）若直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)N（-2，0），且與矩形ABCD的外接圓有公共點(diǎn)，求直線(xiàn)的傾斜角的范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據(jù)AD⊥AB算出AD的斜率為-3，利用點(diǎn)斜式方程列式，得到AD邊所在直線(xiàn)的方程為3x+y+2=0，將AD、AB方程聯(lián)解得到A（0，-2）．求出矩形ABCD的對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)M（2，0）即為外接圓圓心，利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可得到外接圓的方程為（x-2）²+y²=8；
（II）由直線(xiàn)方程的點(diǎn)斜式，設(shè)直線(xiàn)l：y=k（x+2），利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式列出關(guān)于k的不等式，解之得-1≤k≤1，結(jié)合斜率與傾斜角之間的關(guān)系即可算出直線(xiàn)的傾斜角的范圍．
解答：解：（I）∵AB邊所在直線(xiàn)的方程為x-3y-6=0，且AD⊥AB，
∴直線(xiàn)AD的斜率為-3．…（2分）
又∵點(diǎn)T（-1，1）在直線(xiàn)AD上，
∴AD邊所在直線(xiàn)的方程為y-1=-3（x+1）．
化簡(jiǎn)，得3x+y+2=0．…（4分）
由聯(lián)解，得A坐標(biāo)為（0，-2），…（6分）
∵矩形ABCD兩條對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)為M（2，0）．
∴M（2，0）為矩形ABCD外接圓的圓心．
而|AM|=．
∴矩形ABCD外接圓的方程為（x-2）²+y²=8．…（10分）
（II）由直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)N（-2，0），設(shè)直線(xiàn)l：y=k（x+2），
∵直線(xiàn)l與矩形ABCD的外接圓有公共點(diǎn)
∴點(diǎn)M（2，0）與直線(xiàn)l的距離小于或等于半徑
即，解之得k²≤1，即-1≤k≤1
∴直線(xiàn)的傾斜角的范圍為[0，]∪[，π）…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題求矩形ABCD的外接圓方程并求直線(xiàn)與圓相交時(shí)的傾斜角范圍，著重考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式和直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．