Question

16．如圖，以A，B，C，D，E為頂點的六面體中，△ABC和△ABD均為正三角形，且平面ABC⊥平面ABD，EC⊥面ABC，EC=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，AB=2．
（1）求證：DE⊥AB；
（2）求二面角D-BE-A的余弦值．

Answer 1

分析 （1）設AB的中點為F，連結DF，CF，則DF⊥AB，CF⊥AB，從而AB⊥平面CFD，推導出DF⊥AB，從而DF⊥平面ABC，由DF∥CE，能證明DE⊥AB．
（2）以F為坐標原點，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角D-BE-A的余弦值．

解答 證明：（1）設AB的中點為F，連結DF，CF，
∵△ABC，△ABD均為等邊三角形，∴DF⊥AB，CF⊥AB，
∵DF∩CF=F，∴AB⊥平面CFD，
∵平面ABC⊥平面ABD，DF⊥AB，∴DF⊥平面ABC，
∵EC⊥平面ABC，∴DF∥CE，
∴E∈平面DFC，∴DE?平面DFC，
∴DE⊥AB．
解：（2）如圖，以F為坐標原點，建立空間直角坐標系，
則B（1，0，0），E（0，$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），D（0，0，$\sqrt{3}$），A（-1，0，0），
∴$\overrightarrow{AB}$=（2，0，0），$\overrightarrow{BE}$=（-1，$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{BD}$=（-1，0，$\sqrt{3}$），
設平面ABE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），平面DBE的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=2x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}=-x+\sqrt{3}y+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，1，-2），
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BE}=-a+\sqrt{3}b+\frac{\sqrt{3}}{2}c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BD}=-a+\sqrt{3}c=0}\end{array}\right.$，取a=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}，\frac{1}{2}，1$），
設二面角D-BE-A的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3\sqrt{85}}{85}$，
∴二面角D-BE-A的余弦值為$\frac{3\sqrt{85}}{85}$．

點評 本題考查線線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．