Question

已知函數(shù)f（x）=2

3

sin

x

2

cos

x

2

-2sin²

x

2

+1．
（Ⅰ）若f（a）=

6

5

，求cos（

π

3

-α)的值；
（Ⅱ）把函數(shù)f（x）圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將所得圖象向左平移m（m＞0）個單位，得到函數(shù)g（x）的圖象．若函數(shù)g（x）為偶函數(shù)，求m的最小值．

Answer 1

考點：兩角和與差的余弦函數(shù),函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）化簡可得f（x）=2sin（x+

π

6

），由已知數(shù)據(jù)和誘導(dǎo)公式可得；
（Ⅱ）由函數(shù)圖象變換可得g（x）=2sin(

1

2

x+

m

2

+

π

6

)，由偶函數(shù)可得

m

2

+

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z，由題意可得m的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）化簡可得f(x)=2

3

sin

x

2

cos

x

2

-2sin2

x

2

+1=

3

sinx+cosx=2sin(x+

π

6

)
∵f（a）=

6

5

，
∴sin(α+

π

6

)=

3

5

，
∴cos(

π

3

-α)=sin[

π

2

-(

π

3

-α)]=sin(α+

π

6

)=

3

5

，

（Ⅱ）依題意得g(x)=2sin[

1

2

(x+m)+

π

6

]=2sin(

1

2

x+

m

2

+

π

6

)
∵函數(shù)g（x）為偶函數(shù)，
∴

m

2

+

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z，
∴m=2kπ+

2π

3

，
又m＞0，
∴當(dāng)k=0時，m取最小值

2π

3

．

點評：本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，涉及三角函數(shù)圖象的變換，屬基礎(chǔ)題．